Hipotenusa

La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo, y resulta ser su lado de mayor longitud.

Según el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las respectivas longitudes de los otros dos lados del triángulo rectángulo, denominados catetos.

Etimología

Del lat. tardío hypotenūsa, y este del gr. ὑποτείνουσα hypoteínousa, t. f. del part. act. de ὑποτείνειν hypoteínein 'tender con firmeza'.

Relaciones métricas

Artículo principal: Teorema de Pitágoras

• Establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. Es decir, si a representa la longitud de la hipotenusa, b y c la de los catetos, es:

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}}$

Por lo cual:

${\displaystyle a={\sqrt {b^{2}+c^{2}}}}$

En la figura, la hipotenusa es el lado a y los catetos son los lados b y c. La proyección ortogonal de b es m, y la de c es n.

Proyecciones ortogonales:

• La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortogonales de ambos catetos.

${\displaystyle a=m+n}$

• El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de su proyección ortogonal sobre la hipotenusa por la longitud de ésta.

${\displaystyle b^{2}=m\cdot a}$

${\displaystyle c^{2}=n\cdot a}$

• El cuadrado de la longitud de la altura es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

${\displaystyle h^{2}=m\cdot n}$

Proposiciones

• En un triángulo inscrito la hipotenusa coincide con un diámetro tanto como segmento cuanto en longitud.

• El radio de una circunferencia circunscrita es igual a la mitad de la longitud del diámetro.

• En un triángulo rectángulo inscrito un radio coincide con la mediana que une la hipotenusa con el ángulo recto.

• De los triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa y constante la suma de sus catetos, el que tiene mayor área es el triángulo rectángulo isósceles.

• Una de las diagonales de un rectángulo determina dos triángulos rectángulos iguales ( congruentes), siendo la diagonal, la hipotenusa común.

Razones trigonométricas

Mediante razones trigonométricas se puede obtener el valor de los dos ángulos agudos, ${\displaystyle \alpha \,}$y ${\displaystyle \beta \,}$, del triángulo rectángulo.

Conocida la longitud de la hipotenusa ${\displaystyle c\,}$y la de un cateto ${\displaystyle b\,}$, la razón entre ambos es:

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\operatorname {sen}(\beta )\,}$

Por tanto, la función trigonométrica inversa es:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

Siendo ${\displaystyle \beta \,}$el valor del ángulo opuesto al cateto ${\displaystyle b\,}$.

El ángulo contiguo al cateto ${\displaystyle b\,}$será ${\displaystyle \alpha \,}$ = 90° – ${\displaystyle \beta \,}$

También se puede obtener el valor del ángulo ${\displaystyle \beta \,}$mediante la ecuación:

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

Siendo ${\displaystyle a\,}$el otro cateto.

Véase también

• Teorema de Pitágoras
• Cateto
• Círculo unitario

Referencias

Enlaces externos

• Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre hipotenusa.
• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Hipotenusa.

• Datos: Q104962