Medida (matemáticas)

En matemáticas, el concepto de medida es la generalización y formalización de las (medidas geométricas) y otras nociones como la probabilidad de los sucesos aleatorios. La medida es un concepto fundamental en teoría de la medida y teoría de la probabilidad.

Definición

Medida Sea ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ un espacio medible. Una medida sobre ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ es una aplicación ${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\to [0,+\infty ]}$ (véase: recta real extendida) que verifica: La medida del conjunto vacío es cero: ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$. ${\displaystyle \sigma }$-aditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas. ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\cap A_{m}=\emptyset \,\,\forall n\neq m}$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})}$.

La terna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ se denomina espacio de medida.

Ejemplos

• Medida contadora: la terna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),\mu )}$ es un espacio de medida, donde:

  ${\displaystyle \mu (A)=\left\{{\begin{aligned}\#A\quad &{\text{si }}A\neq \emptyset \\0\quad &{\text{si }}A=\emptyset \end{aligned}}\right.,\qquad \forall A\subseteq \Omega }$.

  donde ${\displaystyle \#A}$ denota el número de elementos de ${\displaystyle A}$.

• Medida de Dirac: fijado un elemento ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ la terna ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {P}}(\Omega ),\delta _{\omega })}$ es un espacio de medida, donde:

  ${\displaystyle \delta _{\omega }(A)=\left\{{\begin{aligned}1\quad &{\text{si }}\omega \in A\\0\quad &{\text{si }}\omega \notin A\end{aligned}}\right.,\qquad \forall A\subseteq \Omega }$.

• Medida de Lebesgue: definida en ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {M}})}$, (donde ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ es la ${\displaystyle \sigma }$-álgebra de Lebesgue), es la única medida invariante por traslaciones que extiende la noción de longitud de los intervalos en ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Propiedades

Propiedades de las medidas Aditividad finita: ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \,\,\forall i\neq j}$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})\quad \forall n\in \mathbb {N} }$ Monotonía: ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}:A\subset B}$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)}$ Continuidad creciente: ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\subseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})}$ Continuidad decreciente: ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\supseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} \,\,\land \,\,\mu (A_{1})<+\infty }$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})}$ ${\displaystyle \sigma }$-subaditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos (no necesariamente disjuntos) es menor o igual a la suma de las medidas. ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})}$.

Medida exterior

Artículo principal: Medida exterior

Medida exterior Una medida exterior sobre ${\displaystyle \Omega }$ es una aplicación ${\displaystyle \mu ^{*}:{\mathcal {P}}(\Omega )\to [0,+\infty ]}$ que verifica: La medida del conjunto vacío es cero: ${\displaystyle \mu ^{*}(\emptyset )=0}$. Monotonía: ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A\subset B}$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}$. ${\displaystyle \sigma }$-subaditividad: ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {P}}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Rightarrow \mu ^{*}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu ^{*}(A_{n})}$.

Toda medida definida en ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )}$ es medida exterior, pero el recíproco no es cierto.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir medidas a partir de ellas:

Teorema de Carathéodory Sea ${\displaystyle \mu ^{*}}$ una medida exterior sobre ${\displaystyle \Omega }$. La familia ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{E\in {\mathcal {P}}(\Omega ):\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\setminus E)\quad \forall A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$ es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mu =\mu ^{*}|_{\mathcal {M}}}$ es una medida sobre ${\displaystyle \Omega }$. En definitiva, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {M}},\mu )}$ es un espacio de medida.

Además, si ${\displaystyle \mu ^{*}(E)=0}$, entonces ${\displaystyle E\in {\mathcal {M}}}$ (y naturalmente ${\displaystyle \mu (E)=0}$), lo que implica que ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {M}},\mu )}$ es un espacio de medida completo.

Véase también

• σ-álgebra.
• Espacio medible.
• Espacio de medida.
• Teoría de la medida.

Referencias

Bibliografía

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
• A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.

• Datos: Q192276
• Multimedia: Measures (measure theory) / Q192276