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En matemáticas una relación de orden u orden parcial a es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva

Relación de orden

Relación de orden
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En matemáticas, una relación de orden u orden parcial[a]​ es una relación binaria que pretende formalizar la idea intuitiva de ordenación de los elementos de un conjunto, es decir, que permite comparar sus elementos.

Los conjuntos dotados de un orden, llamados conjuntos ordenados, son el objeto de estudio de la teoría del orden.

Definición

Sea A{\displaystyle A}image un conjunto dado no vacío y R{\displaystyle R}image una relación binaria definida en A{\displaystyle A}image, entonces se dice que R{\displaystyle R}image es una relación de orden si es:[1]​

  1. Reflexiva Todo elemento de A{\displaystyle A}image está relacionado consigo mismo. Es decir, ∀x∈A,xRx{\displaystyle \forall x\in A,\;xRx}image.
  2. Antisimétrica: Si dos elementos de A{\displaystyle A}image se relacionan entre sí, entonces ellos son iguales. Es decir, ∀x,y∈A,xRy,yRx⇒x=y{\displaystyle \forall x,y\in A,\;xRy,\;yRx\;\Rightarrow \;x=y}image
  3. Transitiva: Si un elemento de A{\displaystyle A}image está relacionado con otro, y ese otro a su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado también con este último. Es decir, ∀x,y,z∈A,xRy,yRz⇒xRz{\displaystyle \forall x,y,z\in A,\;xRy,yRz\Rightarrow xRz}image

Dada una relación de orden R{\displaystyle R}image sobre un conjunto A{\displaystyle A}image, el par ordenado (A,R){\displaystyle (A,R)}image forma por definición un conjunto ordenado.

Un ejemplo de relación de orden es la en el conjunto potencia de un conjunto A. En este caso, hay pares de subconjuntos que no se pueden comparar: ni el primero está contenido en el segundo ni el segundo lo está en el primero.[2]​ En otras palabras, la inclusión no es una relación de orden total.

Órdenes parciales y totales

Véase también: Orden total

Sea A{\displaystyle A}image un conjunto dado, ≤{\displaystyle \leq }image es una relación de orden total si y solo si la relación es de orden y todos los elementos de A{\displaystyle A}image se relacionan entre sí, es decir,

∀x,y∈A,(x≤y)∨(y≤x){\displaystyle \forall x,y\in A,(x\leq y)\vee (y\leq x)}image.

  • Ejemplo (N,≤){\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}image es totalmente ordenado. En efecto, es:
    • Reflexivo: ∀n∈N,{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,}image entonces n≤n{\displaystyle n\leq n}image (porque por definición, n=n{\displaystyle n=n\,}image)
    • Antisimétrico: ∀n1,n2∈N,{\displaystyle \forall n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} ,}image si n1≤n2{\displaystyle \;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;}image y n2≤n1,{\displaystyle \;\;n_{2}\leq n_{1},\;\;}image entonces n1≤n2≤n1{\displaystyle n_{1}\leq n_{2}\leq n_{1}}image ⇒n1=n2{\displaystyle \Rightarrow n_{1}=n_{2}}image
    • Transitivo: ∀n1,n2,n3∈N,{\displaystyle \forall n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {N} ,}image si n1≤n2{\displaystyle \;\;n_{1}\leq n_{2}\;\;}image y n2≤n3,{\displaystyle \;\;n_{2}\leq n_{3},\;\;}image entonces n1≤n2≤n3⇒n1≤n3{\displaystyle n_{1}\leq n_{2}\leq n_{3}\Rightarrow n_{1}\leq n_{3}}image
    • Orden total, pues

Sean a y b dos números naturales, entonces a ≤ b o b ≤ a.[3]​

No todas las relaciones de orden son totales. Dos contraejemplos son:

  • (ℤ+, | ) no es totalmente ordenado con la relación a|b, "a divide b"; pues
    • 5 no divide a 12, ya que no existe h entero positivo tal que 12 = 5h. En todo caso, para cualquier h ∈ ℤ+, 12 ≠ 5h.[2]​
    • 12 no divide a 5 tampoco.
  • Sea el conjunto X={1,2,3}{\displaystyle X=\{1,2,3\}}image y el conjunto potencia de X{\displaystyle X}image, definido por:
P(X)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}{\displaystyle {\mathcal {P}}(X)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}image
Entonces (P(X),⊆){\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}image es parcialmente ordenado, pero no totalmente, pues para
A={1},C={3}∈P(X),{\displaystyle A=\{1\},C=\{3\}\in {\mathcal {P}}(X),}image
se tiene:
A⊈C ∧ C⊈A.{\displaystyle A\nsubseteq C\ \land \ C\nsubseteq A.}image

Nótese que las relaciones de orden total son un caso particular de las relaciones de orden parcial.

Relación de orden densa

Véase también: Conjunto denso

Una relación de orden parcial ≤{\displaystyle \leq }image sobre un conjunto X{\displaystyle X}image se dice densa (o densa-en -sí-misma) si, ∀x,y∈X{\displaystyle \forall x,y\in X}image tales que x<y(x≤y∧x≠y){\displaystyle x<y(x\leq y\land x\neq y)}image, existe otro z∈X{\displaystyle z\in X}image tal que x<z<y{\displaystyle x<z<y}image.

  • Ejemplo 1: Los números racionales con la ordenación habitual son un conjunto densamente ordenado, al igual que los números reales. Si q1<q2{\displaystyle q_{1}<q_{2}}image, entonces tenemos que q3:=q1+q22{\displaystyle q_{3}:={\frac {q_{1}+q_{2}}{2}}}image satisface que: q1<q3<q2{\displaystyle q_{1}<q_{3}<q_{2}}image
  • Ejemplo 2: Los números enteros por otro lado con la ordenación habitual no son un conjunto densamente ordenado ya que entre un número entero y su siguiente no existe un número intermedio.Sin embargo, para cualquier t∈R{\displaystyle t\in \mathbb {R} }image existen los enteros k{\displaystyle k}image y k+1{\displaystyle k+1}image, tal que k≤t<k+1{\displaystyle k\leq t<k+1}image.[b]​

Véase también

  • Teoría del orden
  • Desigualdad matemática
  • Igualdad matemática

Esquema de temas relacionados

Teoría del orden
Bien ordenado
Orden total
Parcialmente ordenado
Preordenado
Relación reflexiva
Relación transitiva
Relación antisimétrica
Relación total
Relación bien fundada

Notas

  1. Algunos autores reservan la expresión orden parcial para aquellos órdenes que no sean totales. Rojo, Armando. Álgebra 1. p. 91. 
  2. Esta propiedad permite definir la función máximo entero

Referencias

  1. BIRKHOFF (1948), p. 1.
  2. Rojas: Álgebra I
  3. Rojas, Algebra I, (1972), pg. 91

Bibliografía

  • Birkhoff, Garrett (1948). Lattice Theory (en inglés). New York: American Mathematical Society. 
  • Davey, B.A.; Priestley, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (en inglés) (2nd. edición). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1. 
  • Fraïssé, Roland (2000). Theory of Relations (en inglés) (1rst. (revised) edición). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3. 
  • Roman, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (en inglés). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2. 
  • Rosenstein, Joseph G (1982). Linear Orderings (en inglés) (2nd. edición). New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1. 
  • image Datos: Q3751055

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Fecha de publicación: Enero 08, 2025, 18:26 pm
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