Filosofía de la matemática

La filosofía de las matemáticas es un área de la filosofía teórica que trata de comprender y explicar los requisitos, el objeto, el método y la naturaleza^[1]​ de las matemáticas. Como área de estudio puede ser aproximada desde dos direcciones: el punto de vista de los filósofos y el de los matemáticos. Desde el punto de vista filosófico, el objetivo principal es dilucidar una variedad de aspectos problemáticos en la relación entre las matemáticas y la filosofía. Desde el punto de vista matemático, el interés principal es proveer al conocimiento matemático de fundamentos firmes. Es importante mantener presente que aunque estos dos enfoques pueden implicar diferentes esquemas e intereses, no son opuestos, sino más bien complementarios: «Cuando los matemáticos profesionales se ocupan de los fundamentos de su disciplina, se dice que se dedican a la investigación fundamental (o trabajo fundacional o de fundamentos.- ver Metamatemática). Cuando los filósofos profesionales investigan cuestiones filosóficas relativas a las matemáticas, se dice que contribuyen a la filosofía de las matemáticas. Por supuesto, la distinción entre la filosofía de las matemáticas y los fundamentos de las matemáticas es vaga, y cuanto mayor interacción haya entre los filósofos y los matemáticos que trabajan en cuestiones relativas a la naturaleza de las matemáticas, mejor.».^[2]​

• De acuerdo a (profesor de ciencias matemáticas y de filosofía en la Universidad Carnegie Mellon^[3]​) “el conocimiento matemático ha sido considerado por mucho tiempo como un paradigma del conocimiento humano con verdades que son a la vez necesarias y ciertas, por lo que dar una explicación del conocimiento matemático es una parte importante de la epistemología. Los objetos matemáticos, tales como los números y los conjuntos, son ejemplos arquetípicos de abstracciones, dado que el tratamiento que reciben en nuestro discurso es el de objetos independientes del tiempo y el espacio. Encontrar un lugar para los objetos de este tipo en un marco más amplio del pensamiento es una tarea central de la ontología, o metafísica. El rigor y la precisión del lenguaje matemático se debe a que está basado en un vocabulario limitado y una gramática muy estructuradas, y las explicaciones semánticas del discurso matemático a menudo sirven como punto de partida de la filosofía del lenguaje. Aunque el pensamiento matemático ha demostrado un alto grado de estabilidad a través de la historia, su práctica también ha evolucionado con el tiempo, y algunos desarrollos han provocado controversia y debate; clarificar los objetivos básicos de esta práctica y los métodos apropiados es, por lo tanto, una tarea metodológica y fundacional importante que sitúa a la filosofía de las matemáticas dentro de la filosofía general de la ciencia.
• De acuerdo con Bertrand Russell, las matemáticas son una disciplina que, cuando se parte de sus porciones más familiares, puede llevarse a cabo en cualquiera de dos direcciones opuestas (una busca la expansión del conocimiento, la otra darle fundamentos: Nota del traductor). Pero se debe entender que la distinción es una, no en la materia objeto, sino en el estado de la mente del investigador...(...)... así como necesitamos dos tipos de instrumentos, el telescopio y el microscopio, para la ampliación de nuestras capacidades visuales, del mismo modo necesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliación de nuestras capacidades lógicas, uno para hacernos avanzar hacia las matemáticas superiores, y el otro que nos lleve hacia atrás, hacia los fundamentos lógicos de aquello que estamos inclinados a dar por sentado en las matemáticas. Veremos que mediante el análisis de las nociones matemáticas ordinarias se adquiere una nueva perspectiva, nuevos poderes, y los medios de llegar a nuevos temas matemáticos completos, mediante la adopción de nuevas líneas de avance, siguiendo nuestro viaje hacia atrás.^[4]​

Principia Mathematica, una de las obras más importantes sobre filosofía de las matemáticas.

Como ya se ha sugerido, estas aproximaciones no son conflictivas. En las palabras de Imre Lakatos: «Al discutir los esfuerzos modernos por establecer los fundamentos del conocimiento matemático uno tiende a olvidarse de que se trata solo de un capítulo en el gran esfuerzo de superación del escepticismo estableciendo los fundamentos para el conocimiento en general. El objeto de mi contribución es mostrar que la filosofía matemática moderna está profundamente enraizada en la epistemología general y solamente se puede comprender en ese contexto». (énfasis de Lakatos^[5]​).

Introducción

Desde la antigüedad la filosofía ha tenido interés en, por lo menos, ciertos aspectos de la matemática.^[6]​ En las palabras de Miguel de Guzmán: "Pero hay otros aspectos interesantes de la matemática que atraen de modo natural al filósofo. La dinámica interna del pensamiento matemático, la lógica de su estructura, simple, tersa, sobria, clara, hacen de ella un modelo de reflexión fiable que suscita el consenso de todos. Los filósofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matemático un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hipótesis y teorías.".^[7]​ Mario Bunge va más lejos y llega a sugerir que las matemáticas son no sólo el fundamento del quehacer científico sino también del filosófico.^[8]​

Por mucho de ese tiempo la opinión general era la que Carl Friedrich Gauss resumió: «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomía y a otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones, tiene derecho a la primera fila».^[9]​ Esta preeminencia se debía a una percepción que, últimamente, emana de Platón: "En las matemáticas se halla el origen y fundamento de la teoría platónica de las formas o ideas. En esta la idealización de los entes matemáticos se transforma en la idealización de los entes físicos y psíquicos. La verdad matemática, por su invariabilidad en el tiempo, era el modelo a seguir en todo conocimiento intelectual. El , que partiendo de axiomas y definiciones llegaba a la demostración de teoremas, era el modelo prestigioso de razonamiento para todo saber. En el diálogo "Menón" Sócrates,  a través de preguntas y respuestas, hace que un esclavo alcance por su propio razonamiento una verdad matemática; así, de una manera popular, expone Platón que las matemáticas están en el alma humana, ya que en esta se halla presente el logos que gobierna el mundo material mediante las proporciones aritméticas y geométricas. Sólo se requiere la introspección para volvernos conscientes de ese saber interno.".^[10]​

Esa posición es generalmente conocida como realismo; platonismo o realismo platónico y "de manera muy esquemática, puede sintetizarse en la creencia de que los objetos matemáticos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos.... existen fuera del espacio y del tiempo de la experiencia física y cualquier pregunta significativa sobre ellos tiene una respuesta definida. Así el matemático es, en este sentido, como un científico empírico que no puede inventar ni construir sino solo descubrir algo que ya existe.^[11]​ Acorde con el físico Paul Davies: "Los científicos no usan las matemáticas simplemente como una forma conveniente de organizar los datos. Creen que las relaciones matemáticas reflejan aspectos reales del mundo físico."^[12]​

Sin embargo, hacia fines del siglo XIX esta situación comenzó a cambiar, proceso que eventualmente culminó, a fines del siglo XIX y comienzo del XX, en la llamada crisis de los fundamentos:^[13]​^[14]​^[15]​^[16]​^[17]​^[18]​ "La imagen tradicional de las matemáticas (formal e infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada "crisis de los fundamentos de las matemáticas", que sucedió en el siglo XIX. Dicha "crisis" se originó principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la teoría de los conjuntos."^[19]​

Esa situación ha sido resumida de la siguiente manera^[20]​

"Hasta bien entrado el siglo XIX, la geometría era universalmente considerada la rama más firme del conocimiento.... La Geometría era, simplemente, el estudio de las propiedades del espacio. Estas se manifestaban como verdades objetivas, universalmente válidas para la mente humana.

Durante el siglo XIX sucedieron “varios desastres que iban a cambiar completamente esta situación. El primero fue el descubrimiento de geometrías no euclídeas, al que inmediatamente siguió otro desastre mayor: el desarrollo del análisis por caminos contrarios a la intuición geométrica (curvas que llenan el espacio, funciones continuas no diferenciables, etc.) lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del único fundamento que hasta entonces tenían las Matemáticas: la intuición geométrica. Esto era una auténtica catástrofe puesto que en algún sentido implicaba la pérdida de la certeza, no solo en la Matemática sino en todo el conocimiento humano.

Se pensó entonces buscar otra “base segura” para fundamentar las Matemáticas, y así Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el análisis -el continuo- a partir de la Aritmética. Parecía que todo volvía a estar en orden, pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuición de contar y así los números enteros serían la nueva base segura para todo el edificio matemático... (ver programa de Hilbert).

Pero el intento de fundamentar rigurosamente la Matemática iba a ser llevado un paso más lejos por Frege, quien comenzó un ambicioso programa para basar las Matemáticas en la Lógica -a través de la Aritmética. Este fue el punto de partida de la escuela logicista que más tarde sería continuada por Russell y Whitehead. La idea logicista consistía en demostrar que la Matemática clásica era parte de la lógica, de modo que una vez culminado su programa podría asegurarse que la Matemática estaba libre de contradicción al menos en la misma medida que la propia lógica.

Sin embargo, ya en ese momento se habían hecho descubrimientos que iban a sacudir completamente este optimismo dejando de nuevo a la Matemática sin fundamentos seguros. En efecto, la construcción del continuo a partir de la Aritmética se basaba en la Teoría de Conjuntos de Cantor (ver hipótesis del continuo), que también había sido utilizada por Frege en sus fundamentación de la Aritmética. Pero la teoría de Cantor, y en particular su hipótesis básica sobre la existencia de conjuntos encerrada en su definición: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento”, que puede ser traducida por “cualquier condición determina un conjunto”, iba a revelarse inconsistente."

Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolución, lo que, a su vez, dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista, logicista y formalista^[21]​ (esa es la visión general o común, algunos incluyen otras escuelas, tales como el fenomenalismo de Husserl^[22]​). Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas^[23]​ lo que dio origen a otras escuelas, tanto derivadas de las anteriores^[24]​ como de otras percepciones básicas -por ejemplo, del empirismo. Sin embargo, y argumentablemente, la situación todavía no se ha resuelto del todo.^[25]​^[26]​^[27]​

Problemas

Al respecto de todo lo anterior hay algunas interrogantes fundamentales y sistemáticas, tales como:

1. el modo de ser de los objetos matemáticos: ¿acaso estos existen realmente e independientemente de cualquier empleo específico? Y, si es así, ¿en qué sentido? Y ¿qué significa referirse a un objeto matemático? ¿Cuál es el carácter de los teoremas matemáticos? ¿Cuál es la relación entre la lógica y las matemáticas? Aquí se trata de cuestiones ontológicas;
2. el origen del conocimiento matemático: ¿cuáles son la fuente y la esencia de la verdad matemática? ¿Cuáles son las condiciones de la ciencia matemática? ¿Cuáles son, en lo fundamental, sus métodos de investigación? ¿Qué papel, en relación con lo anterior, tiene la naturaleza del ser humano? Aquí se trata de cuestiones epistemológicas;
3. la relación entre las matemáticas y la realidad: ¿cuál es la relación entre el mundo abstracto de las matemáticas y el universo material? ¿Tienen las matemáticas sus raíces en la experiencia? Y, si es así, ¿cómo? ¿Cómo es que las matemáticas «calzan tan bien con los objetos de la realidad» (Albert Einstein^[28]​)? ¿De qué manera los conceptos tales como número, punto, infinito, etc. adquieren un significado que trasciende el ámbito estrictamente matemático? William Lane Craig argumentó que la eficacia de las matemáticas en la naturaleza se explica mejor apelando a la existencia de un Dios.^[29]​

El punto de partida es casi siempre la concepción de que las proposiciones matemáticas son ciertas por principio, de manera atemporal y exacta, y que su veracidad no depende ni de evidencias empíricas ni de puntos de vista personales. La tarea consiste tanto en determinar las condiciones de la posibilidad de adquirir ese conocimiento como en cuestionar críticamente este punto de partida.

Corrientes

Artístico

La visión que sostiene que las matemáticas son la combinación estética de suposiciones, y luego también afirma que las matemáticas son un arte, fue compartida por el matemático británico G. H. Hardy^[30]​ y también metafóricamente por el francés Henri Poincaré.^[31]​ Para Hardy, en su libro Apología de un matemático, la definición de matemáticas se parecía más a la combinación estética de conceptos.^[32]​

Platonismo

Kurt Gödel

Edward Zalta

Esta sección es un extracto de Platonismo matemático.[editar]

En filosofía de las matemáticas, el platonismo matemático o realismo matemático es una corriente de pensamiento que afirma que los objetos matemáticos (números, figuras geométricas, funciones, etc.) no son simples invenciones humanas, sino objetos abstractos que existen por sí mismos, independientemente de la mente humana,^[33]​^[34]​ es decir, que los objetos y teoremas matemáticos existen en forma aislada del mundo material e independientemente del espacio y del tiempo. Con este punto de vista, las leyes de la naturaleza y los axiomas de la matemática tienen una posición similar y su efectividad encuentra una explicación: su fundamento lo constituye el verdadero mundo de los objetos matemáticos. El platonismo matemático es una forma de realismo filosófico, aplicado a los objetos matemáticos.

Kurt Gödel describe el platonismo matemático brevemente como:

«[…] la concepción de que la matemática describe una realidad no sensible, que existe independientemente tanto de los actos como de las disposiciones de la mente humana, y que es solo percibida por ella, aunque probablemente de forma incompleta.»^[35]​

Matematicismo

Artículo principal: Matematicismo

La hipótesis del universo matemático de Max Tegmark (o matematicismo) va más allá del platonismo al afirmar que no sólo existen todos los objetos matemáticos, sino que no existe nada más. El único postulado de Tegmark es: Todas las estructuras que existen matemáticamente también existen físicamente. Es decir, en el sentido de que "en esos [mundos] lo suficientemente complejos como para contener subestructuras autoconscientes [ellos] se percibirán subjetivamente a sí mismos como existiendo en un mundo 'real' físicamente".^[36]​^[37]​

Aristotelismo

Aristóteles.

En filosofía de las matemáticas, el realismo aristotélico sostiene que las matemáticas estudian propiedades como la simetría, la continuidad y el orden que pueden realizarse literalmente en el mundo físico. Por ejemplo, el número 4 se realiza en la relación entre un montón de loros y el universal "ser un loro" que divide el montón en tantos loros.^[38]​

Aristóteles considera que los objetos matemáticos son, a diferencia de Platón, abstracciones de objetos y realidades materiales dependientes del mundo físico y no podían tener realidad aparte de las cosas empíricas. No son o existen per se, sino en los objetos individuales como seres en potencia. Las matemáticas carecen de universalidad.^[39]​ Según Aristóteles en la Metafísica, hay "una ciencia que estudia el ser en tanto que ser y los accidentes propios del ser [...] diferente de todas las ciencias particulares" que sólo tratan del ser bajo cierto punto de vista, sus accidentes, y "en este caso están las ciencias matemáticas".^[40]​ Por eso los seres matemáticos no son sustancias, pues "la forma sustancial es la esencia; el número, por lo contrario, expresa la materia: un número de carne, de hueso".^[41]​ En las Categorías, llama a estos seres sustancias segundas, ya que la categoría de cantidad es posterior a la de sustancia.^[42]​ Las entidades matemáticas son todos los objetos potenciales del intelecto que dan una idea de la belleza y un placer intelectual.^[43]​

Aristóteles criticó las ideas platónicas afirmando que el verdadero ser se encuentra no en lo universal, sino en lo individual.^[44]​ Este es el origen y la base de un realismo filosófico moderado, que sostiene que los conceptos universales son realidades en la mente y aunque carecen de existencia independiente, tienen su fundamento en las cosas existentes.^[45]​ Los defensores más conocidos son Alberto Magno y Tomás de Aquino.^[46]​^[47]​ La escuela "Sydney School" adoptó una noción realista neoaristotélica de las matemáticas frente el platonismo y el nominalismo.^[48]​^[49]​ También se ha considerado a Nicolai Hartmann^[50]​ y Penelope Maddy^[51]​ como aristotélicos en sus filosofías sobre las matemáticas. La aritmética euclidiana desarrollada por John Penn Mayberry en su libro The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets también cae en la tradición realista aristotélica.^[52]​

Formalismo

Artículo principal: Formalismo matemático

David Hilbert.

El formalismo matemático entiende las matemáticas como un lenguaje simbólico basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres: "..el programa del formalismo matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío. Este sistema formal estaría integrado por uno o más conjuntos de elementos fundamentales, por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones (proposiciones que comprenden los axiomas y las demás proposiciones de ellos deducidas: los teoremas).^[53]​ Por ejemplo, en el contexto formal de geometría euclidiana se obtiene el teorema de Pitágoras combinando ciertas cadenas (los axiomas) según determinadas reglas (las del razonamiento lógico).^[54]​^[55]​

David Hilbert es generalmente considerado fundador del formalismo moderno.^[56]​ Su interés era la construcción axiomática consistente y completa de la totalidad de las matemáticas,^[57]​ seleccionando como punto de partida los números naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvía la necesidad de definir los objetos básicos (op. cit) con el fin de lograr un sistema completo y consistente (ver Programa de Hilbert).

En esta visión los enunciados matemáticos pierden el carácter de verdades; dejan de ser, en última instancia, proposiciones "sobre algo". Lo que importa son las relaciones que se establecen entre ellos: "Hilbert sostiene que la verdadera importancia en la construcción de los saberes matemáticos no es el resultado numérico, sino la ley de cómo estructurar las relaciones entre los objetos matemáticos.... Las reglas que enlazan funcionalmente los objetos con su sistema de referencia formarán parte de un Sistema Formalizado Matemático; en donde, se entiende como formalización a un conjunto de leyes descubiertas en el seno de su misma estructura, la que mantiene su consistencia en las demostraciones."^[58]​

Otro matemático que fue inspirado por el formalismo fue Haskell Curry, generalmente considerado el fundador de la lógica combinatoria.

A pesar de que esta propuesta fue de corta duración, debido al teorema de incompletitud de Gödel, que demostró que cualquier sistema de axiomas que incluya los números naturales es o bien incompleto o bien contradictorio, llegó, de facto, a constituir la posición más aceptada entre los matemáticos hasta el último cuarto del siglo XX: "Los años setenta vieron decaer la tendencia formalista, representada por el grupo Bourbaki, seudónimo de varias generaciones de matemáticos franceses,"^[59]​

Deductivismo

Esta sección es un extracto de Deductivismo.[editar]

En filosofía de las matemáticas, el deductivismo, o a veces si-entoncismo (del inglés if-thenism), es una variante del formalismo que propone que el trabajo del matemático consiste en derivar proposiciones a partir de la asunción de que ciertas otras son correctas (si A, entonces B).^[60]​ Tradicionalmente se ha asumido que esas proposiciones básicas (o axiomas) son o deberían ser indudablemente correctas. Pero eso no es ni necesariamente correcto ni necesario. No es necesario porque la matemática no necesita fundaciones indudables,^[61]​ y no es necesariamente correcto porque, de hecho, la matemática trabaja perfectamente (especialmente en el área de las matemáticas aplicadas) sobre la base que los axiomas son presumiblemente correctos y presumiblemente coherentes y que las inferencias que siguen de esos presumibles axiomas son presumiblemente posibles (en el sentido que se puede crear un modelo matemático a partir de ellas).^[62]​

Los deductivistas requieren que toda y cada prueba matemática sea una deducción. Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente válidas (véase Validez (epistemología) y Validez (lógica)) pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deducción para ser considerada válida.^[63]​

Por ejemplo, el deductivismo considera que el teorema de Pitágoras no es verdadero sin más, sino solo en relación con ciertos supuestos. Si a las cadenas se les asignan significados, de tal manera que los axiomas sean verdaderos y reglas de inferencia sean válidas, entonces se obtienen «conclusiones ciertas», tales como el teorema de Pitágoras. En este sentido, el formalismo no sigue siendo obligatoriamente un juego simbólico sin sentido. El matemático puede confiar, en cambio, que existe una interpretación de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la física o por otras ciencias naturales, tal que las reglas conduzcan a «afirmaciones verdaderas». Por lo tanto un matemático deductivista se puede mantener al margen tanto de la responsabilidad por la interpretación como de las dificultades ontológicas de los filósofos.

En 1967, Hilary Putnam^[64]​ revivió una idea de Bertrand Russell —el «si-entoncismo» (if-thenism^[65]​)— e introdujo el deductivismo^[66]​ como una respuesta a algunos problemas con el logicismo en Principia Mathematica.^[67]​ Putnam propone considerar las matemáticas como el estudio de las consecuencias de los axiomas, usando teoría de modelos. En consecuencia interpreta las proposiciones matemáticas como refiriéndose a un posible modelo para esas proposiciones. A diferencia de la sugerencia logicista de Russell y otros, el deductivismo basa y transforma la matemática en una lógica con un sentido mucho más amplio que el sentido logicista. La lógica deductivista incluye, por ejemplo, la teoría de conjuntos necesaria para estudiar las consecuencias que siguen de axiomas.^[68]​ El logicismo podría ser solo una versión del deductivismo, usando una concepción más restrictiva de la lógica matemática.^[63]​

Según Putnam, si bien la condición de veracidad (o corrección) de esas verdades se satisface (o demuestra) mostrando que constituyen un modelo de ese conjunto de axiomas (es decir, constituyen un caso ejemplar de tales axiomas), el de los axiomas solo puede ser asumido,^[69]​ y por lo tanto el todo está expuesto a error. «Las matemáticas pueden estar erradas, y no sólo en el sentido de que las pruebas podrían ser falaces o que los axiomas podrían no ser (si reflexionamos más profundamente) realmente evidentes. Las matemáticas (o, más bien, una teoría matemática) podría estar equivocado en el sentido de que los axiomas "evidentes" podrían ser falsos, y los axiomas que son verdaderos pueden no ser "evidentes" en absoluto. Pero esto no hace que la búsqueda de la verdad matemática sea imposible más de lo que lo ha hecho en la ciencia empírica, ni tampoco significa que no debemos confiar en nuestra intuición cuando no tenemos nada mejor para continuar.»^[66]​

Convencionalismo

Artículo principal: Convencionalismo

El matemático francés Henri Poincaré fue uno de los primeros en articular una visión convencionalista.^[70]​ El uso de Poincaré de geometrías no euclidianas en su trabajo sobre ecuaciones diferenciales lo convenció de que la geometría euclidiana no debería considerarse una verdad a priori. Sostuvo que los axiomas en geometría deberían elegirse por los resultados que producen, no por su aparente coherencia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico.

Intuicionismo

Artículo principal: Intuicionismo

El intuicionismo matemático^[71]​ rechaza tanto la sugerencia logicista como la formalista, proponiendo que el conocimiento matemático se basa en la aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos matemáticos básicos.^[72]​^[73]​ Este intuicionismo se origina sobre la base de las ideas de Kant y Schopenhauer en la propuesta de L. E. J. Brouwer^[72]​^[74]​ que el saber matemático se basa en la intuición primordial^[75]​^[76]​ de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser "construido" agregando 1 al anterior. (Nótese que esto introduce un elemento temporal - ver D. Pareja. op. ci).

A partir de lo anterior, el resto de la matemática puede (y debe) ser construida de forma explícita y rigurosa, lo que requiere un método claro y preciso^[77]​- Solo entidades cuya existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera, o por medio de tal método, tienen validez matemática.^[78]​ Parafraseando el dicho platonista, se podría decir que, desde el punto de vista intuicionista, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.^[79]​

Entre otras consecuencias de lo anterior se encuentra la restricción del principio del tercero excluido:^[80]​^[81]​ saber que una proposición es falsa implica, para los intuicionistas, poder demostrar esa falsedad.^[82]​^[83]​ (ver, por ejemplo, Lógica intuicionista). Sigue que, en un momento dado (por ejemplo, el presente) es perfectamente posible que haya proposiciones acerca de las cuales no tenemos certeza acerca de si son correctas o no. (nótese que esto introduce, nuevamente, un elemento temporal en la "verdad" matemática). (Lo anterior no es un rechazo absoluto del principio. Los intuicionistas lo utilizan en situaciones específicas -por ejemplo, en el caso de conjuntos bien definidos y finitos. Ver Aritmética de Heyting)^[79]​)

Otras diferencias con lo que se puede considerar matemáticas clásicas se encuentran en la concepción del infinito y la del continuo. Para los intuicionistas un (cualquier) ente es válido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un número finito de pasos o operaciones (este procedimiento puede ser un algoritmo o algún otro que siga una regla: por ejemplo: arrojar un dado veinte mil veces a fin de generar cualquier número). Pero ¿cuál procedimiento específico y finito puede generar el infinito? Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dará algún número concreto. Consecuentemente, el infinito intuicionista es solo potencial, a diferencia del "infinito oficial" que lo concibe como "una totalidad completa y acabada.".^[84]​ Si bien esta diferencia es más bien metafísica (op. cit), argumentablemente sin consecuencias mayores para la práctica matemática, es la introducción a la diferencia sobre la concepción del continuo, que si tiene tales consecuencias. (op. cit, esp p 108).

El concepto intuicionista del continuo^[85]​ rechaza la concepción axiomática clásica (de Cantor y Zermelo, etc ver Hipótesis del continuo, etc), basada en la teoría de conjuntos y sugiere utilizar una especie de "principio de elección" (choice principles^[86]​ que Brouwer llama "secuencias de elecciones libres"), basado en la intuición que, entre dos puntos (o números) cualquiera, un matemático puede elegir libremente otro punto o número, y así indefinidamente: “El continuo lineal no puede ser agotado por la interpolación de nuevas unidades. Y no puede por lo tanto ser pensado como una mera colección de unidades.”.^[87]​ (al respecto de todo esto, ver: "El Error de Cantor"^[88]​).

La introducción de secuencias de elecciones tiene varias consecuencias^[89]​ difíciles de aceptar para la matemática no intuicionista.^[90]​ Como ejemplos, la demostración intuicionista del teorema de la barra (bar theorema^[91]​) y el teorema del abanico (fan theoreme^[92]​).

Aparte de Arend Heyting, otros matemáticos y lógicos de nota influidos por esta visión incluyen: Hermann Weyl, quien promovió una visión constructivista de la matemáticas. La aplicación del intuicionismo a la topología por Alfred Tarski; los trabajos matemáticos de Andréi Kolmogórov y los de Andréi Márkov y los desarrollos de una lógica intuicionista por Saul Kripke.^[93]​

Entre los filósofos que continúan esta tradición encontramos Michael Dummett.^[94]​

Logicismo

Bertrand Russell.

Esta sección es un extracto de Logicismo.[editar]

En filosofía de las matemáticas, el logicismo es la doctrina que sostiene que la matemática es en algún sentido importante reducible a la lógica,^[95]​ o en otras palabras que las matemáticas son básicamente una extensión de la lógica. Los logicistas sostienen que las matemáticas se pueden conocer a priori, pero sugieren que nuestro conocimiento de las matemáticas es solo parte de nuestro conocimiento de la lógica en general, y por lo tanto es analítico y no requiere ninguna facultad especial de intuición matemática. Desde este punto de vista, la lógica es el fundamento adecuado de las matemáticas y todas las afirmaciones matemáticas son verdades lógicas necesarias.

Rudolf Carnap (1931) presenta la tesis logicista en dos partes:^[96]​

1. Los conceptos matemáticos se pueden derivar de conceptos lógicos a través de definiciones explícitas
2. Los teoremas de las matemáticas se pueden derivar de axiomas lógicos a través de deducciones puramente lógicas

Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX, aunque a veces se alega que los teoremas de incompletitud de Gödel socavan el propósito del proyecto, si bien sería más apropiado decir que socavan más directamente el proyecto formalista.

Constructivismo

Esta sección es un extracto de Constructivismo (matemática).[editar]

En filosofía de las matemáticas, el constructivismo o escuela constructivista requiere para la prueba de la existencia de un objeto matemático, que este pueda ser encontrado o «construido». Para esta escuela no es suficiente la prueba por contradicción clásica (reducción al absurdo) que consiste en suponer que un objeto X no existe y partiendo de esta premisa derivar una contradicción. Según los constructivistas tal procedimiento no permite encontrar el objeto estudiado y en consecuencia su existencia no está realmente probada. La posición opuesta se denomina platonismo matemático.

Se confunde frecuentemente el constructivismo con el intuicionismo cuando en realidad este último no es sino un tipo de constructivismo. Para el intuicionismo, las bases fundamentales de las matemáticas se encuentran en lo que denominan la intuición matemática, haciendo en consecuencia de esta una actividad instrínsecamente subjetiva. El constructivismo no adopta en general dicha postura y es completamente compatible con la concepción objetiva de las matemáticas.

propuso el constructivismo a partir de las sugerencias de Brouwer y Márkov,^[97]​ pero modificando algunas percepciones de los autores mencionados de tal manera que la propuesta constructivista resulta más restrictiva que las sugerencias de Brouwer y Márkov pero, al mismo tiempo, logra que todos sus teoremas resulten compatibles tanto con esas sugerencias como con las de la matemática clásica, cosa que no ocurre con las otras dos.^[98]​ Bishop logra esta flexibilidad a través de no definir lo que llama "rutinas finitas" (algoritmos) que constituyen el proceso de demostración. Si bien esto parece introducir una cierta falta de precisión, fuerza a quienes practican esta aproximación a utilizar estrictamente la lógica intuicionista. Parece ser que utilizar tal lógica equivale a practicar matemática algorítmica formal. Si eso fuera el caso, la aproximación intuicionista podría ser implementada en relación con cualquier objeto matemático, no solo esa clase especial de «objetos constructivos».^[99]​

El constructivismo critica el formalismo llevado hasta el extremo por el grupo de matemáticos llamado Nicolas Bourbaki, admite la sucesión de los números naturales, mas no el conjunto de los naturales, cuestionan la lógica en que se fundamenta la matemática de Bourbaki y proclama la tercera opción respecto del principio del tercero excluido (a más de p y ~p, cabe otra salida).^[100]​

Finitismo

Esta sección es un extracto de Finitismo.[editar]

Leopold Kronecker.

En filosofía de las matemáticas, el finitismo es una forma extrema de constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos finitos. En contraste, la mayoría de constructivistas admiten un conjunto de pasos infinito numerable.

Estructuralismo

Esta sección es un extracto de Estructuralismo (matemáticas).[editar]

En filosofía de las matemáticas, el estructuralismo considera las matemáticas principalmente como una ciencia que se ocupa de las estructuras generales, es decir, las relaciones de los elementos dentro de un sistema.

Según Stewart Shapiro, «El estructuralismo matemático es similar, en algunos aspectos, al punto de vista funcionalista en, por ejemplo, la filosofía de la mente. Una definición funcional es, en efecto, estructural, ya que, también se centra en las relaciones que los elementos definidos tienen el uno al otro. La diferencia es que las estructuras matemáticas son más abstractas, y autónomas, en el sentido de que no hay restricciones sobre el tipo de cosas que pueden ejemplificar.»^[101]​^[102]​

Para ilustrar lo anterior, considérese un «sistema ejemplo» tal como la administración de un club deportivo.^[103]​ Los distintos cargos (presidente, auditor, tesorero, etc.) son independientes de las personas que asumen esas tareas. Considerando sólo el esquema de los cargos (y por tanto «omitiendo» las personas reales que trabajan en ellos), se obtiene la estructura general de una asociación. El club en sí, con las personas que han tomado posesión de los cargos, ejemplifica esta estructura.

Del mismo modo, cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor único ejemplifica la estructura de los números naturales. Lo mismo se aplica a otros objetos matemáticos. Puesto que el estructuralismo no considera los objetos, tales como números, de manera separada de su totalidad o estructura, sino que más bien los considera como "espacios en una estructura", esquiva la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos y los explica como errores categoriales. Así, por ejemplo, el número dos, en tanto número natural, ya no se puede considerar en forma separada de la estructura de los números naturales, sino como el identificador del «segundo lugar en la estructura de los números naturales»: no tiene propiedades internas ni una estructura propia. En consecuencia, existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matemáticos, como otras que rechazan su existencia^[104]​

Los problemas con esta corriente surgen principalmente de la cuestión de las propiedades y el ser de las estructuras.^[105]​ Al igual que en el problema de los universales es aparente que las «estructuras» son algo que puede aplicarse a muchos sistemas simultáneamente. Por ejemplo, la estructura de un equipo de fútbol es ciertamente ejemplificado por miles de equipos. Esto plantea la cuestión de si y cómo las estructuras existen, si acaso existen independientes de los sistemas. Otras cuestiones pendientes están relacionadas con el acceso a las estructuras y la de ¿cómo podemos aprender acerca de ellas?

Entre los representantes actuales del estructuralismo se cuentan Stewart Shapiro,^[102]​ Michael Resnik,^[106]​ ^[107]​ y Paul Benacerraf.

Ficcionalismo

Esta sección es un extracto de Ficcionalismo.[editar]

En filosofía de las matemáticas, el ficcionalismo considera que las proposiciones y teorías matemáticas pretenden ser sobre objetos matemáticos abstractos, como sugiere el platonismo, pero no existen cosas tales como objetos abstractos, y por lo tanto las teorías matemáticas no son ciertas.^[108]​

Se planteó en 1980 cuando publicó Science Without Numbers, que rechazó y de hecho revirtió el argumento de indispensabilidad, donde Quine sugirió que las matemáticas eran indispensables para nuestras mejores teorías científicas y por lo tanto se deberían aceptar como un cuerpo de verdades que hablan de entidades independientes existentes. En cambio, Field sugirió que las matemáticas son prescindibles y por lo tanto se deberían considerar como un cuerpo de falsedades que no hablan de nada real.^[109]​

Empirismo

John Stuart Mill.

El empirismo matemático^[110]​ puede trazarse a la obra Un sistema de lógica de John Stuart Mill al afirmar que las matemáticas son "ciencia empírica de validez más general".^[111]​ Para Mill, los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades acerca del mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas (Dummett 1998, pp. 125-126). Mill propuso que los principios matemáticos y las conclusiones de la ciencia deductiva (como la geometría, aritmética, álgebra...) son inductivas. Los axiomas se basan en la observación y en generalizaciones a partir de experiencias repetidas. Por ejemplo, 2 + 2 y 3 + 1 son necesariamente iguales porque un grupo de 4 cosas puede disponerse en dos grupos de 2 cosas y en un grupo de 3 cosas y otro de 1. El epicúreo Zenón de Sidón anticipó a Mill en esta teoría matemática inductiva.^[112]​ Mill cree que este punto de vista "debe esperarse la recepción más desfavorable".^[113]​ Gottlob Frege reprendió muchas de las ideas de Mill sobre la filosofía de las matemáticas en su obra Los fundamentos de la aritmética.^[114]​

A pesar de que la sugerencia de Mill no despertó gran interés entre matemáticos (P Kitcher: "el problema que muchas de sus formulaciones son imprecisas (casi invitando las bien conocidas ironías de Frege) y, en adición, Mill solo considera las más rudimentarias partes de la matemáticas"^[115]​), la idea básica fue eventualmente retomada por dos autores: Stephan Körner^[116]​ y .^[117]​ Para Körner, "las teorías científicas integradas en la matemática funcionan y están justificadas, junto con su marco de trabajo matemático como constituyentes sincategoremáticos^[118]​ de las proposiciones empíricas ". Para Kalmar "los axiomas de cualquier rama interesante de las matemáticas fueron originalmente extraídos, más o menos directamente, de los hechos empíricos, y las reglas de inferencia utilizadas en ella originalmente manifestaron su validez universal en nuestra práctica del pensamiento; III) la consistencia de la mayoría de nuestros sistemas formales es un hecho empírico, (y) aun cuando se ha demostrado, la aceptabilidad de los métodos metamatemáticos utilizados en la prueba (por ejemplo inducción transfinita hasta cierto ordinal constructivo) es de nuevo un hecho empírico.".^[119]​

Esta visión ha sido expandida por, entre otros, Philip Kitcher, quien busca sistematizarla;^[120]​ , quien sugiere que "Al rehabilitar el empirismo de John Stuart Mill y combinarlo con el conocimiento cada vez mayor de la naturaleza de la mente humana, podemos escapar del indefinible universo platónico de la conciencia inmaterial y abandonar la vana búsqueda por la certidumbre que ha plagado la filosofía desde los tiempos de los griegos.^[121]​

Cuasi-empirismo

Artículo principal: Cuasi-empirismo matemático

El término cuasi-empirismo fue introducido por Imre Lakatos^[122]​ a fin de enfatizar un punto crucial de su sugerencia: "Una (teoría euclidiana) puede ser proclamada verdadera. Una teoría cuasi-empírica puede —a lo más— ser bien corroborada, pero es siempre conjetural. Adicionalmente, en una teoría Euclidiana los postulados verdaderos básicos en "la cumbre" del sistema deductivo (generalmente llamados 'axiomas') demuestran, por así decirlo, el resto del sistema; en una teoría cuasi-empírica los postulados básicos (verdaderos) son explicados por el resto del sistema." (op cit, sección 2).

"El cuasi-empirismo postula que para entender y explicar las matemáticas no basta con analizar su estructura lógica ni su lenguaje sino que hay que estudiar su práctica real, la manera en que efectivamente las aplican los matemáticos, las enseñan los profesores y las aprenden los estudiantes, su historia, las revoluciones que ocurren en ellas, los paradigmas y los programas que dominan, las comunidades de matemáticos, el tipo de retórica que se emplea en ellas y el papel que juega el conocimiento matemático en las distintas sociedades y culturas."^[123]​

• El cuasi empirismo de Lakatos: Lakatos plantea que la supuesta necesidad lógica (o verdad a priori) de las matemáticas deriva de que nos hemos olvidado, no conocemos, o no valoramos adecuadamente el proceso de informales, siempre falibles, por medio del cual se llega a las pruebas formales que después dan lugar a las axiomatizaciones. Lakatos propone que: 1) las pruebas formales son falseables por medio de las pruebas informales; 2) el proceder de las matemáticas no es axiomático, como plantean los formalistas, sino basado en una sucesión de pruebas y refutaciones que sólo llegan a resultados falibles; 3) el intento de proveer de fundamentos a las matemáticas conlleva un retroceso al infinito; 4) la historia de las matemáticas debe ser estudiada no a través de teorías aisladas sino de series de teorías o, mejor aún, de programas de investigación que incluyen un núcleo firme no falseable y un cinturón protector de hipótesis auxiliares que sí son falseables, pero que son modificables;10 5) debemos preferir no el programa matemático que esté completamente axiomatizado sino el que sea progresivo, esto es, el que permita descubrir hechos nuevos e inesperados.^[123]​
• El cuasi empirismo de Putman: Hilary Putnam parte de las tesis quineanas acerca del holismo de las teorías y la naturalización de la epistemología, pero también, como su maestro Reichenbach, del impacto de la física moderna en nuestra concepción de la ciencia y de la realidad. En las matemáticas, según Putnam, hay un juego entre postulación, pruebas informales o cuasi-empíricas y revolución conceptual. Putnam reconoce que las matemáticas no son ciencias experimentales y que son más a priori que, por ejemplo, la física, sin embargo señala que la distinción entre lo a priori y lo a posteriori es más bien relativa: que algo sea a priori significa, simplemente, que juega un papel fundamental en nuestra concepción del mundo o en nuestra forma de vida y que, por tanto, no estamos dispuestos a renunciar a ello. Concretamente, la teoría de conjuntos es indispensable para la física^{[cita requerida]}, por ello, las entidades sobre las cuales cuantifica, a saber, los conjuntos, deben ser considerados como reales, pues no se puede aceptar el conocimiento que proporciona la física sin aceptar dichas entidades o, mejor dicho, al aceptar el conocimiento de la física, ya se ha aceptado, implícitamente, la teoría de conjuntos. Así, las matemáticas comparten el contenido empírico con las teorías físicas de las que forman parte y se modifican junto con ellas.

Psicologismo

Artículo principal: Psicologismo

El psicologismo en la filosofía de las matemáticas es la posición en la que los conceptos y / o verdades matemáticos se basan en hechos (o leyes) psicológicos o se derivan de ellos o se explican por ellos. John Stuart Mill parece haber sido un defensor de un tipo de psicologismo lógico, al igual que muchos lógicos alemanes del siglo XIX como Christoph Sigwart y Johann Eduard Erdmann, así como una serie de psicólogos, por ejemplo, Gustave Le Bon.^[124]​

Gottlob Frege criticó el psicologismo en sus Los fundamentos de la aritmética y en muchas de sus obras y ensayos, incluida su revisión de la Filosofía de la aritmética de Husserl. Edmund Husserl, en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas, llamado "Prolegómenos a la lógica pura", criticó a fondo el psicologismo y buscó distanciarse de él. El psicologismo también fue criticado por Charles Sanders Peirce y Maurice Merleau-Ponty. No obstante, modernas revisiones han acusado a las críticas de Frege y Husserl de cometer peticiones de principio, además de criticar las opiniones de ambos sobre la naturaleza de las leyes lógicas, especialmente que sean necesarias y únicas, ya examinados en los artículos de Quine, quien pidió un famoso regreso al psicologismo.^[124]​

Teísmo

Esta sección es un extracto de (Argumento teleológico § Eficacia irrazonable de las matemáticas).[editar]

William Lane Craig ha propuesto un argumento realista influenciado por la filosofía de las matemáticas. Este argumento gira en torno al hecho de que, mediante el uso de conceptos matemáticos, se puede descubrir mucho sobre el mundo natural. Por ejemplo, Craig escribe, Peter Higgs, y cualquier científico similar «pueden sentarse en su escritorio y, vertiendo [sic] sobre ecuaciones matemáticas, predicen la existencia de una partícula fundamental que, treinta años más tarde, después de invertir millones de dólares y miles de horas, los experimentadores finalmente son capaces de detectar». Nombra a las matemáticas como el «lenguaje de la naturaleza» y refuta dos posibles explicaciones para esto. En primer lugar, sugiere, la idea de que son entidades abstractas plantea la cuestión de su aplicación. En segundo lugar, responde al problema de si son meramente ficciones útiles, sugiriendo que eso pregunta por qué estas ficciones son tan útiles. Resumió su argumento de la siguiente manera:

A. Si Dios no existiera, la aplicabilidad de las matemáticas sería solo una feliz coincidencia.
B. La aplicabilidad de las matemáticas no es solo una feliz coincidencia.
C. Por lo tanto, Dios existe.

A. If God did not exist, the applicability of mathematics would be just a happy coincidence.
B. The applicability of mathematics is not just a happy coincidence.
C. Therefore, God exists.

William Lane Craig

Cita al físico y matemático húngaro Eugene Wigner (1902-1995) como una influencia en su pensamiento.^[125]​^[126]​^[127]​

La idea central detrás de este argumento teísta es que la naturaleza inteligible o inteligibilidad propia de la(s) realidad(es) matemática(s) (y su manifiesta relación con la realidad física) encuentra explicación y sentido en último término por referencia a algún Intelecto Eterno o Divino (o Logos) trascendental que pueda ser el fundamento eterno de tales realidades/verdades matemáticas eternas o atemporales.^[128]​^[129]​

Cabe destacar también que esta concepción del Logos como el intelecto trascendente que dé sentido y orden racional al mundo no es en absoluto nueva en la tradición filosófica teísta; filósofos antiguos como Filón de Alejandría y el mismo San Agustín (uno de los más importantes filósofos de la tradición del cristianismo y uno de los Padres de la Iglesia) creían ya en concepciones similares de Dios.^[130]​^[128]​; conceptos heredados y pulidos en una buena parte de filósofos griegos como Heráclito de Éfeso.

^[131]​^[132]​^[133]​^[134]​

Véase también

• Filosofía de la ciencia
• Fundamentos de la matemática
• Historia de la matemática

Referencias

1. Natura es la traducción latina de la palabra griega physis (φύσις), que en su significado original hacía referencia a la forma innata en la que crecen espontáneamente plantas y animales. (ver D. Harper Physical). En Idioma alemán el término "naturaleza" proviene de naturist, que significa "el curso de los animales, carácter natural."(ver D. Harper: Nature
2. Horsten, Leon, Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
3. «Jeremy Avigad». Consultado el 4 de abril de 2017. 
4. Bertrand Russell: Introduction to Mathematical Philosophy chap 1
5. I Lakatos: “Infinite regress and foundations of mathematics” en Mathematics, science and epistemology Cambridge U Press, 1978, p. 4
6. Por ejemplo: Iván Pedro Guevara V (2008): "La filosofía ha considerado siempre la matemática como uno de los objetos principales de sus investigaciones,.. " en LA FILOSOFIA DE LA MATEMATICA: LA RAZON DE SER DEL NUMERO.- Diego Fusaro: "Siempre hay una relación inseparable entre la matemática y la filosofía.." en IL RAPPORTO FILOSOFIA - MATEMATICA (en italiano en el original)
7. M de Guzmán: Filosofía y matemáticas Archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine.
8. Adianez Fernández Bermúdez: Una visión de la ciencia y su relación con la ética, en Mario Bunge
9. R Gauss: frases célebres de o sobre Carl Friedrich Gauss.
10. ««El sentido de las matemáticas en la filosofía de Platón»». Archivado desde el original el 11 de mayo de 2013. Consultado el 4 de abril de 2017. 
11. José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar p 127
12. Davies, Paul. «Is nature mathematical?». New Scientist (en inglés estadounidense). Consultado el 21 de agosto de 2020. 
13. JAVIER DE LORENZO: "La matemática: de sus fundamentos y crisis"- Tecnos, Madrid
14. «SIGLO XX: CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS». Archivado desde el original el 17 de septiembre de 2016. Consultado el 4 de abril de 2017. 
15. JOSÉ M. FERREIRÓS: The Crisis in the Foundations of Mathematics Archivado el 9 de enero de 2021 en Wayback Machine. (en Princeton Companion to Mathematics Proof)
16. «A Timeline for the Foundational Crisis and the Vienna Circle». Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. Consultado el 4 de abril de 2017. 
17. Herman Weyl On the New Foundational Crisis in Mathematics
18. Mario O. González (1950): La crisis actual de los fundamentos de la Matemática
19. Eduardo Harada O (2005): El cuasi empirismo en la filosofía de las matemáticas
20. José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar p 125- 156:
21. Encyclopedia Britanica: [1]
22. Por ejemplo: Ulrich Majer (2004): Husserl Between Frege’s Logicism And Hilbert’s Formalism
23. Ernst Snapper (1979); The Three Crisis in Mathematics: Logicism, formalism and Intuitionism Archivado el 15 de agosto de 2012 en Wayback Machine.
24. Lindström, S.; Palmgren, E.; Segerberg, K.; Stoltenberg-Hansen, V. (Eds.) (2009): Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?
25. Ferran Mir Sabaté (2006): Las discusiones posteriores sobre la filosofía matemática (la metamatemática) ilustrarán las distintas concepciones de la disciplina. Durante los años 20s se desarrollará un profundo debate sobre las bases de las matemáticas que, a pesar de su cierre aparente, sigue vigente en nuestros días. en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. Cuaderno de Materiales. Num. 23 (2011). ISSN 1139-4382. Pàginas 557-574.
26. Por ejemplo: Edward Nelson (2006): Warning Signs of a Possible Collapse of Contemporary Mathematics
27. Por ejemplo: Alex Levine: Conjoining Mathematical Empiricism with Mathematical Realism: Maddy's Account of Set Perception Revisited en Synthese.- Vol. 145, No. 3 (Jul., 2005), pp. 425-448
28. Véase: Guillermo Mattei Irrazonable eficacia de la matemática - ver también Eugene Paul Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Archivado el 28 de febrero de 2011 en Wayback Machine.

29. A. Si Dios no existiera, la aplicabilidad de las matemáticas sería solo una feliz coincidencia.
    B. La aplicabilidad de las matemáticas no es solo una feliz coincidencia.
    C. Por lo tanto, Dios existe.

    A. If God did not exist, the applicability of mathematics would be just a happy coincidence.
    B. The applicability of mathematics is not just a happy coincidence.
    C. Therefore, God exists.

    William Lane Craig

    Véase en: Argumento teleológico
30. https://www.goodreads.com/work/quotes/1486751-a-mathematician-s-apology
31. https://www.brainyquote.com/quotes/henri_poincare_208086
32. S, F. (January 1941). «A Mathematician's Apology». Nature 147 (3714): 3-5. doi:10.1038/147003a0. 
33. P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en Frege y la nueva lógica. «El realismo, por tanto, es el punto de vista que sostiene que la matemática es la ciencia de los números, conjuntos, funciones, etc., tal y como la física es el estudio de los objetos físicos ordinarios, cuerpos astronómicos y partículas subatómicas entre otros. Esto es, la matemática trata acerca de esos objetos, y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matemática verdaderos o falsos.»
34. Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism «Cualquiera explicación metafísica de las matemáticas que implica que las entidades matemáticas existen, que son abstractos, y que son independientes de todas nuestras actividades racionales.»
35. GÖDEL, K., Algunos teoremas básicos de los fundamentos de las matemáticas y sus implicaciones filosóficas (Conferencia Gibbs), en: RODRÍGUEZ CONSUEGRA, F. (ed.), Kurt Gödel; Ensayos inéditos, Mondadori, Barcelona, 1994, 155.
36. Tegmark, Max (February 2008). «The Mathematical Universe». Foundations of Physics 38 (2): 101-150. Bibcode:2008FoPh...38..101T. arXiv:0704.0646. doi:10.1007/s10701-007-9186-9. 
37. Tegmark, Max (November 1998). «Is "the Theory of Everything" Merely the Ultimate Ensemble Theory?». Annals of Physics 270 (1): 1-51. Bibcode:1998AnPhy.270....1T. S2CID 41548734. arXiv:gr-qc/9704009. doi:10.1006/aphy.1998.5855. 
38. Franklin, James (2014), "An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics", Palgrave Macmillan, Basingstoke; Franklin, James (2011), "Aristotelianism in the philosophy of mathematics," Studia Neoaristotelica 8, 3-15.
39. Martí Sánchez, Miguel; Martí Sánchez, Miguel (2017-6). «La filosofía de las matemáticas de Aristóteles». Tópicos (México) (52): 43-66. ISSN 0188-6649. doi:10.21555/top.v0i52.784. Consultado el 15 de julio de 2019. 
40. «Aristóteles Metafísica 4:1 Del ser en tanto que ser». www.filosofia.org. Consultado el 5 de abril de 2021. 
41. «Aristóteles Metafísica 14:5 El número no es la causa de las cosas». www.filosofia.org. Consultado el 5 de abril de 2021. 
42. Copleston, Frederick. HISTORIA DE LA FILOSOFIA I. LIBER. p. 269. 
43. Humphreys, Justin. «Aristotle». Internet Encyclopedia of Philosophy. 
44. «El problema de los universales». www.filosofia.net. Seminario de Filosofía INBAD, Servicio de Publicaciones del MEC, Madrid, 1985. Consultado el 17 de octubre de 2019. 
45. García Buitrago, Néstor. SI YO FUERA MAESTRO. p. 401. Archivado desde el original el 9 de marzo de 2012. Consultado el 3 de marzo de 2020. 
46. «Nominalismo, Realismo, Conceptualismo - Enciclopedia Católica». ec.aciprensa.com. Consultado el 19 de agosto de 2019. 
47. «Realismo - Encyclopaedia Herder». encyclopaedia.herdereditorial.com. Consultado el 4 de noviembre de 2019. 
48. «Aristotle | Internet Encyclopedia of Philosophy». www.iep.utm.edu. Consultado el 3 de marzo de 2020. 
49. Franklin, James (2011). Studia Neoaristotelica, ed. An Aristotelian Realist Philosophy of Mathematics. UNSW Sydney: Palgrave Macmillan UK. ISBN 978-1-349-48618-2. doi:10.5840/studneoar2011811. Consultado el 3 de marzo de 2020. 
50. Poli, Roberto; Scognamiglio, Carlo; Tremblay, Frederic (27 de octubre de 2011). The Philosophy of Nicolai Hartmann (en inglés). Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-025418-1. Consultado el 3 de marzo de 2020. 
51. Park, Woosuk (12 de julio de 2018). Philosophy's Loss of Logic to Mathematics: An Inadequately Understood Take-Over (en inglés). Springer. p. 166. ISBN 978-3-319-95147-8. Consultado el 3 de marzo de 2020. 
52. Tait, W. & Mayberry, J.. (2002). The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets. The Bulletin of Symbolic Logic. 8. 424. 10.2307/3062207.
53. «Formalismo, I. Filosofía». 
54. Para una introducción general, ver Ángel Ruiz Z 26.3 El formalismo (en Historia y filosofía de las matemáticas)
55. Jean-Paul Collette (1993): Historia de las matemáticas, volumen 2, Volume 2 p 577 y sig
56. Diego Pareja H (2008): "el concepto moderno de formalismo que incluye las técnicas del razonamiento finitista debemos atribuirlo a Hilbert y a sus discípulos." en 5. 8 – David Hilbert y el formalismo. Razonamientos finistas son aquellos "razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha" (ibid)
57. Ferran Mir S (2006): "La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de Paris de 1900, en la que planteo los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón [6, Pags. 125 y ss.]: "En las matemáticas no existe el ignorabimus". Un año antes, Hilbert había publicado su Grundlagen der Geometrie, en el que establecía los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclideas como no euclideas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completud del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga [13, P·g. 151], pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También esta presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros." en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20.
58. Pedro Angulo L (2010): EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA. CASO: FORMALISMO
59. Aroca, José Manuel El progreso de la matemática en los últimos 25 años
60. Ian J. Dove: En su forma más simple el deductivismo es la visión que la matemática consiste enteramente de la derivación de teoremas a partir de axiomas. Es esa visión las únicas verdades en matemáticas son verdades condicionales de la forma Si (axioma); Entonces (teoremas)." en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
61. H Putnam: "no creo que haya una crisis en las fundaciones de las matemáticas. En realidad, no creo que la matemática ya sea tiene o necesita "fundaciones" en "Mathematics without foundations"
62. H Putnam: "Porque nuestra convicción intuitiva que ciertos tipos de estructuras finitas podrían (énfasis de Putnam) existir juegan un papel esencial en la aplicación de las matemáticas. Es una parte, y una parte importante, de la pintura matemática total que ciertos conjuntos de axiomas son asumidos como representando estructuras presumiblemente posibles. .... Así hay cuestiones que que permanecen irreduciblemente un asunto de la filosofía de las matemáticas por sobre la "filosofía de la lógica": el asunto de iluminar y clarificar nuestra aceptación de estructuras matemáticas como "presumiblemente posibles", o de conjuntos de axiomas matemáticos como "presumiblemente consistentes..." The Thesis that Mathematics is Logic, conclusión (p 41-42)
63. Keith Hossack (1991): Access to Mathematical Objects.-Crítica: Revista Hispanoamericana de Filosofía.- Vol XXIII, N 68 (Agosto 1991) 157- 181
64. Hilary Putnam (1967: A) The Thesis that Mathematics is Logic. y B) Mathematics without foundations. El énfasis en la fecha es relevante. La posición de Putnam experimento cambios. Ver Russell Marcus (2006): E Pluribus Putnams Unum
65. Hilary Putnam (1967): Philosophical Papers: Volume 1, Mathematics, Matter and Method “The Thesis that Mathematics is logic” p 20 “(3) ‘If-thenism’ as a philosophy of mathematics”
66. Hilary Putnam (1967): The Thesis that Mathematics is Logic.
67. Russell Marcus (2006): Pluribus Putnams Unum (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última). p 6
68. Russell Marcus (2006): E Pluribus Putnams Unum p 6
69. Ian J. Dove: "A través de evitar el asunto de la verdad de los axiomas y teoremas, el deductivismo es capaz de evitar el problema de la epistemología de las matemáticas y lo reemplaza con el de la epistemología de la lógica... el deductivismo es anti-realista o, por lo menos, neutral en relación a la existencia de objetos abstractos. " en Certainty and Error in Mathematics: Deductivism and the Claims of Mathematical Fallibilism, p 5
70. Heinzmann, Gerhard; Stump, David (2017). Zalta, Edward N., ed. Henri Poincaré (Winter 2017 edición). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado el 26 de agosto de 2020. 
71. Iemhoff, Rosalie, Intuitionism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.), forthcoming URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/intuitionism/>
72. van Atten, Mark: "Sobre la base de su filosofía de la mente, en la que Kant y Schopenhauer fueron las principales influencias, Brouwer caracteriza principalmente las matemáticas como la libre actividad del pensamiento exacto, una actividad que se basa en la intuición pura del tiempo (interior). Ningún reino independiente de los objetos y el lenguaje juegan algún papel fundamental. De este modo se esforzó por evitar la Escila del platonismo (con sus problemas epistemológico) y el Caribdis del formalismo (con su pobreza de contenido). Dado que, en vista de Brouwer, no hay factor determinante de la verdad matemática fuera de la actividad de pensar, una proposición sólo se hace realidad cuando el sujeto ha experimentado su verdad (por haber llevado a cabo una construcción mental apropiado), de manera similar, una proposición sólo es falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad (por darse cuenta de que una construcción mental apropiado no es posible). Por lo tanto Brouwer puede afirmar que "no hay verdades sin experiencia" (Brouwer, 1975, p.488)." en 3. Brief Characterization of Brouwer's Intuitionism" en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
73. Carlos Torres A: "El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell, a la matemática no constructiva y a las paradojas, y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos matemáticos se construyen directamente en la intuición pura, siendo por ello previos al lenguaje y a la lógica; ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construcción, no de la lógica, como pretenden Frege, Russell y los logicistas 33 y iii) en la matemática no es admisible ninguna teoría que rebase el marco de lo dable en la intuición, como sostienen Hilbert y los cantorianos." en KANT VISTO DESDE LAS MATEMÁTICAS revista unam vol.6/num 1 (2005) sección “ El intuicionismo de Brouwer”, pp 15-19
74. L. E. J. Brouwer (1913): INTUITIONISM AND FORMALISM Bull. Amer. Math. Soc. 20 (2): 81–96. MR 1559427.
75. DIEGO PAREJA HEREDIA: "Para los intuicionistas las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de los números naturales 1, 2, 3,... Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó el numero 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva repetición y aparece el número 3. En esta forma, el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1, 2, 3,..., n, donde n es un natural arbitrario. Esta construcción mental de un número natural tras de otro, nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo. Cuando afirmamos 2 va después de 1, el término “después” tiene una connotación de tiempo, y en ese aspecto Brouwer se adhiere al filósofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una apreciación inmediata de la noción de tiempo. Kant usó la palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, y es de allí de donde proviene el término “intuicionismo”. " en 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
76. La "intuición" a la que se hace referencia tiene un sentido más bien especializado: Miguel Espinoza: "Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas, no es gradual como una inferencia, como el conocimiento que presupone el lenguaje, como la aplicación de un algoritmo. Digo "se supone" porque la inmidiatez podría ser una ilusión. Que la conciencia sea incapaz de seguir los diferentes pasos del cerebro no significa que biológicamente haya también inmediatez. La rapidez de un ordenador no implica intuición. A veces en matemáticas se entiende también por intuición las operaciones de calculo o lo que llega a entenderse fácilmente. En la intuición, lo aprehendido y la operación de la mente forman un solo proceso, tienen una sola forma, por eso no se plantea el problema de la verdad-adecuacion. Para preguntarnos si lo que pensamos corresponde o no a algo externo al pensamiento, es necesario que el intelecto y la cosa estén separados. Esto no ocurre en la intuición. Es entonces la falta de distinción sujeto-objeto, la inmediatez atribuida a la intuición que ha dado a los intuicionistas la confianza en este modo de conocimiento. Toda inferencia debe estar basada finalmente en verdades intuitivas", en Intuicionismo y objetividad p 101-102
77. J. BARRIO GUTIÉRREZ: "Intuicionismo matemático. Una de las corrientes matemáticas de más fecundidad en el momento actual es el llamado Intuicionismo matemático. En oposición al formalismo de Hilbert (v.), fue creado por L. Brouwer (v.) sobre la base de anteriores ideas defendidas por L. Kronecker. La tesis fundamental de este i(ntuicionismo) es la afirmación de que la Matemática (v.) está constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matemático, sobre los que se seguirán construyendo otros mediante un sistema operacional claro, preciso y fecundo." en INTUICIONISMO
78. De acuerdo a Brouwer "un ente solo existe si puede ser construido a partir de la intuición primordial".- Brouwer, citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad p 110.
79. Dick de Jongh: Intuicionismo
80. Ferran Mir Sabaté (2006): LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. El Principio de Tercio Excluso.
81. A. N. Kolmogorov: "On the principle of excluded middle", pp. 414–437.
82. ver Jorge Alberto Molina (2008): Negación y Doble Negación en el Intuicionismo de Brouwer Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
83. SEP: 2.2 Intuitionism
84. Ver Miguel Espinoza (2003): Intuicionismo y Objetividad (Thémata, Nro 30) p 111 -112 y 103-106
85. Esta concepción se basa, de acuerdo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en "el uso de la noción del tiempo como base primordial de su elaboración del continuo. El tiempo es el único elemento “a priori” del continuo. Este se basa en lo que Brouwer denomina “intuición primordial o primigenia”, que consiste en la capacidad de conciencia de la relación entre antes-después, pasado-presente, como unidad de lo continuo y lo discreto, la posibilidad de pensar a la vez en singularidades unidas por un "entre" que nunca se agota por inserción de nuevas singularidades, por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente construir el otro a partir de ahí. Zalamea (2001) menciona que uno de los rasgos que caracteriza la idea de un continuo sintético es la Genericidad, que refiere a lo no particularizante, a la iniciación de un gran espacio de posibilidades no actualizadas ni determinadas y esto se observa en Brouwer tomando como base su Intuición Primigenia." en SOBRE UNA CONSTRUCCIÒN ALTERNATIVA AL CONTINUO DE CANTOR: EL CONTINUO INTUICIONISTA Archivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
86. ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory p 259
87. L. E. J. Brouwer, citado por D. P HEREDIA 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo.
88. Michel Bordeau: El Error de Cantor en Jorge Martínez Contreras, Aura Ponce de León, Luis Villoro: El saber filosófico esp pp 396- 405
89. Para profundizar estas, ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory pp 252-264: "The Primordial intution of integer: Choice sequences and Brouwer's concept of set
90. van Atten, Mark: "Los teoremas fundamentales del análisis intuicionista - el teorema de la barra, el teorema del abanico, y el teorema de la continuidad - se encuentran en "Sobre los dominios de definición de las funciones" (Brouwer, 1927). Los dos primeros son teoremas estructurales sobre los diferenciales, y el tercero (que no debe confundirse con el principio de continuidad para las secuencias de elección) establece que cada función total [0,1] → ℝ es continua e incluso uniformemente continua. El teorema del abanico es, de hecho, un corolario del teorema de la barra; combinado con el principio de continuidad, que no es válido clásicamente, produce el teorema de continuidad, que tampoco es clásicamente válido. Los teoremas de las barras y el abanico son, por otro lado, clásicamente válido, aunque las pruebas clásicas y intuicionista para ellos no son intercambiables. Las pruebas clásicas no son “intuicionisticamente” aceptable debido a la manera en que depender de PEM, las pruebas intuicionistas no son clásicamente aceptables porque dependen de la reflexión sobre la estructura de las pruebas mentales. En esta reflexión, Brouwer introdujo la noción de la forma de una prueba con "análisis completo" o "canónica", que sería adoptada más tarde por Martin-Löf y por Dummett. En una nota al pie, Brouwer menciona que tales pruebas, que él identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto, suelen ser infinitas." en 4. Brouwer's Development of Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer
91. Win Veldman: "Some applications of Brouwers Thesis on Bars, en One Hundred Years of Intuitionism (1907-2007): The Cerisy Conference pp 326 y sig (esp p 330)
92. THIERRY COQUAND (2003): About Brouwer's fan theorem
93. Para una visión mas profunda de estos desarrollos, ver A.G. Dragalin (originator) Intuitionism. en Encyclopedia of Mathematics.
94. ver Gustavo Fernández D: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo p 102 y sig
95. Horsten, Leon. «Philosophy of Mathematics». En Edward N. Zalta, ed. Stanford Encyclopedia of Philosophy (en inglés) (Fall 2008 Edition). 
96. Carnap, Rudolf (1931), "Die logizistische Grundlegung der Mathematik", Erkenntnis 2, 91-121. Republished, "The Logicist Foundations of Mathematics", E. Putnam and G.J. Massey (trans.), in Benacerraf and Putnam (1964). Reprinted, pp. 41–52 in Benacerraf and Putnam (1983).
97. Bishop, E. (1967): Foundations of Constructive Analysis, New York: McGraw-Hill (ver Revisión del libro (ambos en inglés)
98. Gustavo Fernandez D: "SEMINARIO DE LOGICA Y FILOSOFIA DE LA CIENCIA I, página 101: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo
99. Bridges, Douglas, punto 3.3: Bishop's Constructive Mathematics en Constructive Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.)
100. Roger Apéry (1984). «Matemática constructiva». Pensar La Matemática – Seminario de Filosofía y Matemática de la Ecole Normale Supériure de París. dirigido por J. Diedonné, M. Loi, y R. Thomm. Barcelona: Éditions du Seuil. ISBN 8472236145. 
101. Stewart Shapiro, en Mathematical Structuralism en "Internet Encyclopedia of Philosophy (IEP) 2010
102. Stewart Shapiro (1997) Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology
103. Stewart Shapiro, „Thinking About Mathematics“, Oxford 2000, S. 263
104. Para una introducción a este aspecto, ver STRUCTURALISM, MATHEMATICAL Ver también Julian C. Cole (2010): Mathematical Structuralism Today
105. Por ejemplo: Uri Nodelman - Edward N. Zalta.: Foundations for Mathematical Structuralism
106. Por ejemplo: Michael D. Resnik (2004): Structuralism and the Independence of Mathematics
107. Por ejemplo: G. Hellman (1996): Structuralism without structures
108. Balaguer, Mark (2018). Zalta, Edward N., ed. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2018 edición). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Consultado el 9 de julio de 2019. 
109. Quezada, Wilfredo; Quezada, Wilfredo (2017-10). «Filosofía de las matemáticas, teoría de cardinales grandes y sus bases cognitivas». Revista de filosofía 73: 281-297. ISSN 0718-4360. doi:10.4067/S0718-43602017000100281. Consultado el 9 de julio de 2019. 
110. Para una visión general del empirismo matemático, ver David Bostock (2009): "Empiricism in the Philosophy of Mathematics" en D. M. Gabbay; P. Thagard; J. Woods (edtrs): Philosophy of Mathematics p 157- 230
111. J. S. Mill: "La matemática es la ciencia empírica de validez más general.".- citado por Mario A. Natiello en Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel Archivado el 11 de octubre de 2010 en Wayback Machine..- Véase también J. S. Mill: System of logic ("El sistema de la lógica"), vol 2, libro III, cap XXIV, punto 4, p 162, etc
112. «Zeno of Sidon | Encyclopedia.com». www.encyclopedia.com. Consultado el 16 de marzo de 2022. 
113. «IV.3. JOHN STUART MILL». bibliotecadigital.ilce.edu.mx. Consultado el 18 de agosto de 2018. 
114. The foundations of arithmetic; a logico-mathematical enquiry into the concept of number (2nd edición). Evanston, Illinois: Northwestern University Press. 1980. ISBN 0810106051. OCLC 650. 
115. P Kitcher: The Nature of Mathematical Knowledge, p 4 (introducción)
116. S. Körner, (1965): "An Empiricist Justification of Mathematics", en Yehoshua Bar-Hillel (ed.), "Logic, Methodology and Philosophy of Science".- Amsterdam: North Holland, 1965, pp. 222-227. (cuentas de "International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science" 1964)
117. L Kalmár (1967): "Foundations of mathematics - Whither now?" en I. Lakatos (ed.). "Problems in the Philosophy of Mathematics" Amsterdam: North-Holland, 1967, pp. 192-193. (Proceedings of the Colloquium in the Philosophy of Science, London, 1965.)
118. En la lógica escolástica, un término sincategoremático (sincategorema) es una palabra que no puede servir como el sujeto o el predicado de una proposición, y por lo tanto no puede representar a ninguna de las categorías de Aristóteles, pero se puede utilizar con otros términos para formar una proposición. Palabras como 'todo', 'y', 'si' son ejemplos de tales términos. Ver
119. Patrick Peccatte (1998): Quasi-empiricism and anti-foundationalism
120. P Kitcher (1983) The Nature of Mathematical Knowledge (Oxford University Press)
121. C. E. Behrens (2012): Empiricism: An Environment for Humanist Mathematics
122. I. Lakatos (1976): A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics Archivado el 22 de agosto de 2016 en Wayback Machine.
123. Eduardo Harada O (2005): El cuasi-empirismo en la filosofía de las matemáticas p 18
124. Kusch, Martin (2020). Zalta, Edward N., ed. Psychologism (Spring 2020 edición). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Consultado el 26 de agosto de 2020. 
125. «God and the ‘Unreasonable Effectiveness of Mathematics’ | Reasonable Faith». www.reasonablefaith.org (en inglés). Consultado el 28 de enero de 2024. 
126. «Does God Exist? | Reasonable Faith». www.reasonablefaith.org (en inglés). Consultado el 28 de enero de 2024. 
127. God and Mathematics, consultado el 28 de enero de 2024 .
128. Recio, Gonzalo (2012). «Kurt Gödel y San Agustín: Platonismo Matemático y la Existencia de Dios». Repositorio Institucional UCA. 
129. «Divulgación de la Ciencia: Roger Penrose frente a William Craig». Divulgación de la Ciencia. Consultado el 20 de enero de 2024. 
130. Díaz Lisboa, Matías Alejandro (2021). «El Logos mediador en Filón de Alejandría». Revista Palabra y Razón (20): 33-53. ISSN 2452-4646. doi:10.29035/pyr.20.33. Consultado el 26 de febrero de 2024. 
131. 6.372 Así se quedan hoy ante las leyes de la Naturaleza como ante algo intocable, como los antiguos ante Dios y el destino. Y de hecho ambos tienen razón y ambos están equivocados: los antiguos son, hay que decirlo, más claros porque reconocen un límite explícito, mientras que en el nuevo sistema debe parecer como si todo estuviera explicado. Tractatus Logico-Philosophicus.
132. 6.36 Si hubiera una ley de causalidad, podría formularse de la siguiente manera: Hay leyes de la Naturaleza. Pero por supuesto esto no puede ser dicho: se hace manifiesto. Tractatus Logico-Philosophicus.
133. 6.432 Cómo sean las cosas en el mundo es un asunto completamente indiferente para lo superior. Dios no se revela en el mundo. Tractatus Logico-Philosophicus.
134. 6.54 Mis proposiciones aclaran en la medida en que aparecen como absurdas a aquél que las ha entendido, cuando ha pasado por ellas, sobre ellas y queda por encima de ellas. (Debe, por así decir, tirar la escala después de ascender por ella.) Tractatus Logico-Philosophicus.

Bibliografía

• Cañón L; Camino (1993): La matemática: creación y descubrimiento
• Collette; Jean-Paul (1993): Historia de las matemáticas, volumen 2
• Davis; Philip J. y Hersh; Reuben (1981): Experiencia matemática (Introducción general no técnica)
• Dummett, Michael (1998), "The Philosophy of Mathematics" en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998.
• Gabbay;D. M.- Thagard; P.- Woods; J. (edts): Philosophy of Mathematics
• George; Alexander - Velleman; Daniel (2001) Philosophies of Mathematics
• Kline; Morris (1980): Mathematics: The Loss of Certainty
• Kline; Morris: Matemáticas. La pérdida de la certidumbre. Siglo XXI España 1985 (1a Ed.), México 2000 (5a Ed.)
• Körner, Stephan (1968), Introducción a la filosofía de la matemática, Editorial Siglo XXI, 1968
• Lakatos, Imre. (1978 / 1986) Pruebas y Refutaciones: La Lógica Del Descubrimiento Matemático.- Alianza Universidad
• Lakatos, Imre. "La metodología de los Programas de investigación científica". Alianza. Madrid. 1993.
• Lorenzo, Javier. de: La matemática: de sus fundamentos y crisis.- Tecnos, Madrid.
• Lorenzo, J. de (1992), Kant y la matemática. El uso constructivo de la razón pura, Editorial Tecnos, 1992
• Maza Gómez, C. (2008), Matemáticas en la antigüedad
• Macbeth; Danielle: Logic and the Foundations of Mathematics
• Ruiz Zúñiga; Ángel: Matemática y Filosofía - CIMM - Universidad de Costa Rica (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
• Shabel, Lisa (1997), Mathematics in Kant’s Critical Philosophy. Reflections on Mathematical Practice, London: Routledge, 2003
• Shapiro; Stewart (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press.
• Shapiro, Stewart (2000). Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press.
• Shapiro; Stewart (Edtr -2005): The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic
• Solís, Carlos y Sellés, Manuel (2005), Historia de la ciencia, Editorial Espasa, 2005
• Zalamea, Fernando (2009), Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas, Editorial Universidad Nacional de Colombia.

Enlaces externos

• Logicismo, en PhilPapers
• Formalismo, en PhilPapers
• Intuitionismo y constructivismo, en PhilPapers
• Estructuralismo, en PhilPapers

• Datos: Q180536
• Multimedia: Philosophy of mathematics / Q180536